错排公式 详细解答

原创 陈 浩翔  2015-11-01 12:22  阅读 85 次

错排问题
错排问题 就是一种递推式,不过它比较著名且常用,所以要熟记!

错排问题:有n个正整数1,2,3,……n,将这n个正整数重新排列,使其中的每一个数都不在原来的位置上,这种排列称为正整数1,2,3,……n的错排,问这n个正整数的排个数是多少?
设这n个正整数的错排个数为an,为了探求an的表达式,我们先从最特殊的情形入手。
当n=1时,由于只有一个数1,不可能有错排,所以a1=0.
当n=2时,两个数的错排是唯一的,所以a2=1.
当n=3时,三个数1、2、3只有2、3、1和3、1、2两种错排,所以a3=2.
当n=4时,四个数1、2、3、4的错排有:2、1、4、3;2、3、4、1;2、4、1、3;3、1、4、2;3、4、2、1;4、1、2、3;4、3、1、2;4、3、2、1,共有9种错排,所以a4=9.
上面使用的是枚举法,当n较大时,这种方法是很麻烦的、难以解决问题的,必须另辟蹊径,现在考虑用排除法求出1、2、3、4这四个正整数的错排的种数,从中摸索出规律。
对于四个正整数1、2、3、4,这四个数的全排列数为4!。
有一个数不错排的情况应排除,由于1排在第1位的有3!种,2排在第2位的有3!种,……4排在第4位的有3!种,所以共应排除4×3!种。
然而在排除有一个数不错排的情况时,把同时有两个数不错排的情况也排除了,应予以补上,由于1、2分别排在第1、第2位上的情况共有2!种,同理1、3分别排在第1、第3位上的情况也有2!种,……,这四个数中同时有两个数不错排的情况共有种,所以应补上 种。在补上同时有两个数不错排的情况时,把同时有三个数不错排的情况也补上了,应予以排除,四个数中有1、2、3不错排,1、2、4不错排,1、3、4不错排和2、3、4不错排共 种情况,所以应排除 种。
在排除同时有三个数不错排的情况时,把同时有四个数不错排的情况也排除了,所以应补上同时有四个数不错排的情况仅1、2、3、4这一种。


对于第二个公式:
递归关系式为:f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))
解释:
n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成:
第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1 种方法。
第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若1号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生:
1、 k 号元素排在第1个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2) 种方法;
2、 k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素,可以放到1位置中),于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1) 种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。
根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。

HDU-2049-考新郎
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049

这个题目就需要用到错排。

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